Denke Dir eine dreistellige Zahl aus. 
Notiere sie zweimal nebeneinander. 
Du erhältst eine sechsstellige Zahl. 
Diese neue Zahl ist durch \(13\) teilbar. 

Warum ist das so?

Führen wir ein Beispiel aus:

Der Taschenrechner liefert die Bestätigung der Behauptung:

\(932932\div 13 = 71764\),

aber er gibt uns keine Erklärung für dieses Phänomen. Wir müssen hierfür die besondere Struktur dieser doppelt notierten dreistelligen Zahlen ausnutzen, also schreiben wir \(932932\) anders auf:
\begin{align*}
932932 &=932000 + 932\\
&=1000\cdot 932+1\cdot 932\\
&=1001\cdot 932.\\
\end{align*}Ah, wir gelangen also zu der Zahl \(1001\) und diese ist durch \(13\) teilbar:

\(1001\div 13 = 77\).

Damit haben wir eine Begründung gefunden, die für alle gedachten dreistelligen Zahlen anwendbar ist.

Bonus

Übrigens können wir die \(77\) zerlegen und weiter schlussfolgern:

\(77=7\cdot 11.\)

Aha, die sechsstellige Zahl ist also in jedem Fall durch \(7\), \(11\) und \(13\) teilbar - und damit auch durch alle möglichen Produkte dieser Faktoren, also durch

\(7\cdot 11=77\),

\(7\cdot 13=91\),

\(11\cdot 13=143\) und

\(7\cdot 11\cdot 13=1001\).

Als Spezialfälle erhalten wir:

Die Zahlen \(111111\), \(222222\),..., \(999999\) sind alle durch \(7\), \(11\), \(13\), \(77\), \(91\), \(143\) und \(1001\) teilbar.

Software: Die Zahlabbildung wurde mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.
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