Das Jahr 2016 neigt sich dem Ende, vielleicht sind Sie zu einer Feier eingeladen oder selbst Gastgeber. Sicherlich wird es zu einer Situation kommen, in der jeder Gast mit jedem anderen Gast anstößt.

Wie oft klingen dabei die Gläser?

Die Gäste werden in einer Runde sein und sich zum Mittelpunkt hin zuprosten. Um besser abzählen zu können, stellen wir uns die Gäste aber in einer Reihe vor. Sagen wir, es sind \(10\) Gäste anwesend.

Beim Abzählen ist es wichtig, ein System zu haben, mit dem man alle Möglichkeiten erfasst. Wir lassen zum Beispiel den Gast ganz links zu jedem anderen Gast hingehen und anstoßen.

Abbildung 1: Der Gast links geht zu jedem anderen Gast, um anzustoßen.

Hierbei klingen 9mal die Gläser. Dann darf er sich zurückziehen. Nun geht der nächste links außen stehende Gast zu jedem anderen Gast und prostet zu. Hierbei klingen die Gläser 8mal.

Abbildung 2: Es geht weiter mit dem Zuprosten.

Das setzen wir fort bis zum ganz rechts stehenden Gast. Dieser braucht die ganze Zeit nichts zu tun außer zu warten, bis jemand vorbei kommt und mit ihm anstoßen will – er ist everybody’s darling. Insgesamt klingen die Gläser also

\[9+8+7+6+5+4+3+2+1\]
mal. Jetzt sehen wir die Struktur. Wir müssen eine Summe berechnen, bei der wir mit der Gästezahl minus \(1\) anfangen \((10-1=9)\). Die Summanden werden dann immer um \(1\) kleiner, bis hin zur \(1\).

Der Taschenrechner liefert als Ergebnis \(45\), aber ich erkläre Ihnen einen Trick, wie Sie das schnell im Kopf berechnen können. Wir notieren die gesuchte Summe S zweimal, sowohl absteigend als auch aufsteigend:

\[S=9+8+7+6+5+4+3+2+1\]
\[S=1+2+3+4+5+6+7+8+9\]
Nun sehen wir spaltenweise, dass \(9+1=8+2=7+3=⋯=1+9\) immer \(10\) ergibt. Für die doppelte Summe erhalten wir also:
\[2\cdot S = 10 +10 +⋯+10 = 9\cdot 10,\]
also klingen bei \(10\) Gästen die Gläser genau
\[S=\frac{9\cdot 10}{2}=45\]
mal. Mit dieser Abzählstrategie können wir das allgemeine Problem für \(n\) Gäste lösen und erhalten:
\[S=\frac{(n-1)\cdot n}{2}\]
Ergebnis/Kochrezept

Multiplizieren Sie die Anzahl der Gäste mit (Anzahl der Gäste minus 1) und halbieren Sie dann dieses Produkt.

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