In der Kombinatorik beschäftigen wir uns mit dem systematischen Abzählen von Möglichkeiten. Wir steigen mit einem leichten Problem in diese Teildisziplin der Mathematik ein.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, zehn Bücher
der Reihe nach in einem Regal anzuordnen?
Was schätzen Sie?

Wir reduzieren das Problem auf drei Bücher, um die Struktur zu verstehen. Der Titel der Bücher spielt keine Rolle, wir reden daher einfach von den Büchern \(A\), \(B\) und \(C\). Bei drei Büchern haben wir genau sechs Möglichkeiten der Anordnung:

\(ABC\), \(ACB\), \(BAC\), \(BCA\), \(CAB\) und \(CBA\).

Selbst wenn wir das bei dieser überschaubaren Größenordnung irgendwie aufschreiben könnten, so empfiehlt sich doch direkt zu Beginn ein System: Hier sind die Kombinationen lexikographisch geordnet, das heißt \(A\) steht vor \(B\) und \(B\) steht vor \(C\). Diese Möglichkeiten lassen sich auch mit einer Zeichnung darstellen:


Wir entnehmen der Zeichnung, wie sich die Möglichkeiten verästeln. Für das erste Buch haben wir drei Möglichkeiten, für das zweite noch zwei und für das dritte nur noch eine. Um die Struktur weiter zu ergründen, fragen wir:

Was ändert sich, wenn ein viertes Buch dazukommt?


Für das vierte Buch gibt es vier mögliche Positionen. Und für jede dieser Positionen gibt es für die restlichen drei Bücher sechs Möglichkeiten der Anordnung. Wir müssen also multiplizieren, wenn ein neues Buch dazukommt. Für vier Bücher gibt es deshalb:

\[4\cdot 6=24\]
Möglichkeiten. Gehen wir nun mit der Anzahl der Bücher herunter, dann lässt sich die \(6\) ebenfalls als Produkt schreiben:

\(6=3\cdot 2\cdot 1\).

Wir können die \(24\) also wie folgt notieren:

\(24 = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\).

Jetzt erkennen wir die Struktur. Hier wird eine Art Countdown gezählt. Man beginnt mit der Anzahl der Bücher, wird dann immer um \(1\) kleiner bis man bei der \(1\) ankommt und multipliziert diese Zahlen. Das deckt sich mit der Beobachtung zur Verästelung in der Abbildung 2.

Für \(10\) Bücher erhalten wir also:

\[10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3.628.800\]

Möglichkeiten. Für ein solches Produkt schreibt man kürzer \(10!\) und sagt zehn Fakultät. Auf einem modernen Taschenrechner sollte sich eine !-Taste befinden, anderenfalls muss man alle Faktoren eingeben. Sie haben also exakt \(3.628.800\) Möglichkeiten, \(10\) Bücher in eine Reihe zu stellen. Sie mögen entgegnen, dass Sie sich dafür nichts kaufen können, aber ich nutze diese Aussage gelegentlich für eine

Mini-Meditation

Ich sitze in Ruhe auf dem Sofa, schaue mein Bücherregal an und mache mir klar, dass ich Millionen verschiedene Möglichkeiten habe, meine Bücher anzuordnen. Diese Möglichkeiten sollen stellvertretend für die Möglichkeiten in meinem Leben stehen:

Wie viele Bücher kann ich lesen?
Wie viele Speisen kann ich kosten?
Wie viele Menschen kann ich kennenlernen?
Wie viele Städte und Länder kann ich bereisen?
Wie vielen Menschen kann ich die Mathematik näherbringen?
Wie viele Ressourcen kann ich sparen, um die Natur und den Planeten zu schonen?

Nicht der Körper befindet sich in einem Hamsterrad, sondern der Geist und den Geist können wir durch eine gesunde Art zu denken immer wieder befreien.

Bonus

Mir fällt gerade etwas anderes zu \(10!\) ein. Lassen Sie mich die Zahl in Faktoren zerlegen und diese umsortieren.

\begin{align*}
10!&=6\cdot 4!\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\\
&= 6\cdot 24\cdot 7\cdot 5\cdot 8\cdot 9\cdot 10\\
&=6\cdot 7 \cdot24\cdot 360\cdot 10\\
&=6\cdot 7 \cdot24\cdot 60\cdot 60\\
\end{align*}

An was erinnert Sie das? Eine Woche hat \(7\) Tage, ein Tag hat \(24\) Stunden, eine Stunde hat \(60\) Minuten und eine Minute hat \(60\) Sekunden. Hier steht also: Sechs Wochen haben \(10!\) Sekunden. Das ist eine Veranschaulichung auf der Zeitachse für diese Zahl.

Bildnachweis: Pixabay (Abbildung 1)
Software: Die Abbildungen 2 und 3 wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.