Heutzutage nehmen uns Computer viel Arbeit ab, manchmal auch weg. Unsere frühen Vorfahren mussten sich ohne Technik helfen. In diesem Beitrag lernen Sie eine alte Teilbarkeitsregel für die Division durch \(7\) kennen. Vermutlich war das damals wichtig, um zu prüfen, ob sich eine Zeitspanne in ganze Woche aufteilen lässt. Solche Regeln geraten im Computerzeitalter in Vergessenheit, aber diese Spielereien regen das Denken an.

Zerlege die Zahl \(n\) in zwei Teile: in Einer- und Zehnerziffer (sei \(b\)) und in den Rest \(a\).

Dann ist die Zahl \(n\) durch \(7\) genau dann teilbar, wenn \(2a+b\) durch \(7\) teilbar ist.

1. Beispiel: Ist \(2513\) durch \(7\) teilbar?

Wir zerlegen \(2513\) in \(a=25\) und \(b=13\) und berechnen:

\[2\cdot a + b = 2\cdot 25 + 13 = 63\]
und \(63\) ist durch \(7\) teilbar, also ist nach der Regel auch \(2513\) durch \(7\) teilbar. Die Probe mit dem Taschenrechner liefert

\(2513\div7=359\).

2. Beispiel: Ist \(6812\) durch \(7\) teilbar?

Hier ist: \(a=68\), \(b=12\) und damit:

\(2\cdot a + b = 2\cdot 68 + 12 = 148.\)

Konsequenterweise könnten wir \(148\) ebenso zerlegen, falls wir die Teilbarkeit noch nicht sehen: \(a=14\), \(b=8\),

\(2\cdot a+b = 2\cdot 14 + 8 = 36\)

und das ist nicht ohne Rest durch \(7\) teilbar, also ist auch \(148\) nicht durch \(7\) teilbar, also ist auch \(6812\) nicht durch \(7\) teilbar.

Begründung der Regel

Der springende Punkt ist, dass \(98\) durch \(7\) teilbar ist und nahe bei \(100\) liegt, genauer gesagt gilt: \(100=98+2\). Das motiviert die folgende Zerlegung:\begin{align*}
2513 &= 100\cdot 25 + 13\\
&=\: \: 98\cdot 25 + 2 \cdot 25 + 13.
\end{align*}Nun ist \(98\) durch \(7\) teilbar, wir müssen also nur noch \(2\cdot 25+13\) auf Teilbarkeit prüfen - und das ist der Ausdruck \(2\cdot a+b\). Diese Argumentation funktioniert nicht nur in diesem Zahlenbeispiel, sondern allgemein.

Quellen (externe Links)
https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit
https://de.wikisource.org/wiki/Das_Mathematische_im_Talmud
http://www.olympiade-mathematik.de/pdf/saetze/teilb.pdf

Bildnachweis: Gebetsriemen (Tefillin) von pixabay.com