Im Hamsterrad des Bildungssystems finden sich Lernende und Lehrende oft im Frontalunterricht wieder: Der da vorne kaut und turnt vor, die Gruppe konsumiert es und ahmt es nach. Das ist kurzfristig effizient und manche Lerngruppen wollen genau das, aber es gibt die Alternative des entdeckenden Lernens. Hier verrät die Lehrkraft nicht direkt den Zusammenhang, sondern unterstützt die Lernenden dabei, ihn selbst zu herauszufinden. Das ist wie so oft in der Didaktik nichts neues, bereits Konfuzius soll formuliert haben:

Erzähle es mir und ich werde es vergessen,

zeige es mir und ich werde mich erinnern,

lass es mich tun und ich werde es behalten.

Dementsprechend möchte ich Sie heute mit etwas Unterstützung zu einem Zusammenhang zwischen Primzahlen und Quadratzahlen hinführen. Als Arbeitsmaterial gebe ich Ihnen zwei zugehörige Listen. Doch zuvor klären wir die Begriffe Primzahl und Quadratzahl.

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als \(1\), die nur durch \(1\) und sich selbst teilbar ist.


Abbildung 1: Die Primzahlen von \(2\) bis \(23\)

Eine Quadratzahl entsteht, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert.


Abbildung 2: Die Quadratzahlen von \(1\) bis \(49\)

Nun hängt es von der Motivation und dem Leistungsniveau der Gruppe ab, ob die Lehrkraft bereits hier einen Hinweis gibt. So steht es Ihnen an dieser Stelle frei, selbst zu schauen, ob Sie hier einen Zusammenhang erkennen. Nehmen Sie sich ruhig etwas Zeit und schauen Sie die beiden Zahlreihen an.

 

 

 

 

Dieser Abschnitt bleibt frei. Es geht danach weiter mit Tipps und der Lösung.

 

 

 

 

 

Der Hinweis, sich die Abstände der Quadratzahlen anzuschauen, öffnet eine Tür zu dem Problem:



Abbildung 3: Die Differenzen benachbarter Quadratzahlen führen uns zu einer Vermutung.

Die Differenzen benachbarter Quadratzahlen in Abbildung 3 ergeben die Primzahlen \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) und \(13\), aber diese Aussage stimmt nicht für das Paar \(16\) und \(25\). Immerhin ist das eine negative Erkenntnis.

(1) Es gilt nicht: Die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ergibt stets eine Primzahl.

Ändern wir also die Perspektive hin zu den Primzahlen. Wir lösen die Gleichungen, die stimmen, nach den Primzahlen auf:

\[ 3 = 4-1 = 2^{2} - 1^{2}\]
\[5 = 9-4 = 3^{2} - 2^{2}\]
\[7 = 16-9 = 4^{2} - 3^{2}\]
Auf der linken Seite dieser Gleichungen steht immer eine Primzahl, rechts steht die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen. Wir vermuten, dass das immer gilt:

(2) Jede(!) Primzahl lässt sich als Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen schreiben.

Weiter vermuten wir, dass die Summe der zu quadrierenden Zahlen immer die Primzahl ergibt:

\[ 3 = 2 + 1\]
\[5 = 3+2\]
\[7 = 4 + 3\]
Der nächste Schritt besteht nun darin, eine allgemeine Gleichung zu notieren. Wir geben uns eine Primzahl \(p\) vor und wollen Sie passend als Differenz notieren. Dazu müssen wir die Zahlen auf der rechten Seite in Abhängigkeit von \(p\) schreiben. Ist etwa 5 die vorgegebene Primzahl, so erhalten wir die 3 und 2 wie folgt:
\[3 = \frac{5+1}{2}\]
\[2= \frac{5-1}{2}\]
Allgemein gilt:
\[p = \left(\frac{p+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}.\]

Leider hilft diese Gleichung nicht dabei, Primzahlen zu erzeugen, da die beiden Quadratzahlen auf der rechten Seite selbst von der Primzahl abhängen, aber das ist der gesuchte Zusammenhang: Jede Primzahl lässt sich eindeutig als Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen notieren.

Ein aktuelles Beispiel: 2017

\(2017\) ist eine Primzahl. Mit der obigen Identität gilt:

\[2017 = \left(\frac{2017+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{2017-1}{2}\right)^{2}=1009^{2}-1008^{2}\]

Jetzt haben Sie einen Aufhänger, um auf der Silvesterparty mit der attraktiven Nerdine/dem attraktiven Nerd ins Gespräch zu kommen, oder?

Software: Die Abbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.