Erinnern Sie sich daran, als Sie die Fliesen für Ihr Badezimmer ausgesucht haben? Vermutlich gab es im Baumarkt nur quadratische Kacheln zur Auswahl, oder? Mathematisch gesehen sind auch andersförmige Grundbausteine möglich, zum Beispiel bei der Kairo-Parkettierung, die man nach der Stadt benannt hat, in der sie häufig vorkommt:


Abbildung 1: Die Kairo-Parkettierung mit Grundbaustein

Bei dem Grundbaustein handelt es sich um ein Fünfeck. Durch Nachmessen erhalten wir die Eigenschaften des Fünfecks und daraus eine Konstruktion.


Abbildung 2: Die Konstruktion des Grundbausteins

Dieses Fünfeck besteht aus vier gleich langen Seiten. Die fünfte Seite ist etwas kürzer als die anderen Seiten. Die Innenwinkel betragen \(120°\), \(90°\), \(120°\), \(90°\) und \(120°\). Vier identische Exemplare dieses Fünfecks werden zu einem Sechseck zusammengesetzt.


Abbildung 3: Vier identische Exemplare des Fünfecks bilden ein Sechseck.

Mit diesem Sechseck parkettieren wir nun die Ebene. Das ist eine Möglichkeit, das Kairo-Parkett umzusetzen. Wir lernen danach eine zweie Möglichkeit kennen.


Abbildung 4: Das Kairo-Parkett entsteht aus identischen Exemplaren des obigen Sechsecks.

Wir können uns neben den Kacheln auch Lego-Steine vorstellen, die wir zusammenstecken. Wie üblich gibt es mehrere Möglichkeiten, anstatt des Fünfecks könnten wir auch das Sechseck als Grundbaustein auffassen:


Abbildung 5: Wir fassen vier Fünfecke zu einem größeren Baustein zusammen

Zur Konstruktion einer Parkettierung sucht man üblicherweise einen rechteckigen Grundbaustein und kopiert diesen in ein kartesisches Gitter. Für das Finden eines Grundbausteins mit rechteckigen Abmessungen gibt es im Englischen die prägnante Formulierung framing the infinite, denn Parkettierungen stehen metaphorisch für die Unendlichkeit: Wir können Kachel neben Kachel neben Kachel legen. Für die Kairo-Parkettierung ergibt sich sogar ein quadratischer Grundbaustein:



Abbildung 6: Ein alternativer, quadratischer Grundbaustein der Kairo-Parkettierung

In der nächsten Abbildung sehen wir, wie identische Kopien des quadratischen Grundbausteins in ein kartesisches Gitter eingefügt werden. Handwerker würden sagen, sie verlegen ein Parkett.


Abbildung 7: Der quadratische Grundbaustein wird in ein kartesisches Gitter übertragen.

Variationen des Kairo-Parketts

Der obere Winkel des fünfeckigen Grundbausteins in Abbildung 2 kann verändert werden, so dass das Muster eine Parkettierung bleibt. Das nennt man Freiheitsgrad. Wir erhalten dadurch Variationen:


Abbildung 8: Variationen der Kairo-Parkettierung mit verschiedenen Ausgangswinkeln

Beträgt der obere Winkel genau \(90\)°, so wird der fünfeckige Grundbaustein zu einem Quadrat, das auf einer Spitze steht. Wir haben bislang keine geometrischen Berechnungen durchgeführt. Das kommt später im Laufe des Blogs.

Quelle: Relationale Geometriesysteme und relationales Denken in der Geometrie, S. 188-192, Dissertation, Augsburg 2016, Michael Schneider
Software: Die Abbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.