Gegeben ist ein Quadrat.

Formulieren Sie eine möglichst einfache Anleitung,

um ein Quadrat zu konstruieren, das den doppelten Flächeninhalt besitzt.

 

 

 

Das Problem ist geschlossen. Es geht gleich weiter mit der Lösung.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Lösung

Wir konstruieren eine der beiden Diagonalen \(d\) des Quadrates. Das ist die Seitenlänge des gesuchten Quadrates mit dem doppelten Flächeninhalt.

Die Teildreiecke \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) sind wegen der Achsensymmetrie alle gleich groß. Das kleine Quadrat wird duch zwei Teildreiecke ausgefüllt, das große Quadrat durch vier, also hat das große Quadrat den doppelten Flächeninhalt. Alternativ kann man mit dem Satz von Pythagoras die Diagonale \(d\) berechnen und dann damit den Flächeninhalt des größeren Quadrates.

2. Lösung (Variation)

Ein anderer Leser hat ebenfalls mit Symmetrie argumentiert und sich dabei auf die folgende Skizze bezogen:

Es ist Geschmackssache, ob Sie das Ausgangsquadrat auf eine Spitze oder auf eine Seite stellen. Es wird hier durch die beiden Diagonalen geviertelt und anschließend wird jedes Viertel an der Kante gespiegel, also verdoppelt. Damit ist auch das Quadrat verdoppelt.

Bonus

Wir können eines der beiden Verfahren immer wieder auf das aktuell größte Quadrat anwenden. Dabei verdoppelt sich in jedem Schritt die Fläche des Quadrates.

Der Flächeninhalt nimmt rasch große Werte an, selbst wenn wir mit einem kleinen Quadrat der Fläche \(1\) \(cm^{2}\) anfangen:

\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(64\), \(128\), \(256\), \(512\)

und so weiter. Bestimmt komme ich im Laufe des Blogs darauf zurück.

Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.