Liebe Leserinnen, liebe Leser,

einige von Ihnen haben sich schwierigere Aufgaben gewünscht, daher gibt es heute zwei Stufen, * und **. Bitte bearbeiten Sie, was Ihnen gefällt.

1. Gesucht ist ein Vielfaches von \(2003\), das auf \(... 9999\) endet. *

2. Bestimmen Sie ohne Einsatz von Software die letzte Stelle von \(3^{100}\). Begründen Sie Ihr Ergebnis. **

3. Berechnen Sie die Anzahl der Stellen von \(7^{2017}\), wenn der Wert dieser Potenz ausgeschrieben ist. **

Das Problem ist geschlossen. Weiter unten finden Sie die Lösung.

 

 

 

 

Lösung

1. Es ist: \(1333 \cdot 2003 = 2669999\).

2. Wir berechnen die ersten Potenzen

\(3^{1} = 003\)
\(3^{2} = 009\)
\(3^{3} = 027\)
\(3^{4} = 081\)
 \(3^{5} = 243\)
\(3^{6} = 729\)

und sehen, dass sich die letzten Ziffern zyklisch wiederholen: \(3\), \(9\), \(7\), \(1\) und dann wieder von vorne. Die Hochzahl \(100\) ist ohne Rest durch \(4\) teilbar, also sind wir bei dem Fall \(81\), das heißt, die letzte Ziffer von \(3^{100}\) ist ebenfalls \(1\).

3. Die Anzahl der Stellen einer Zahl berechnen wir mit dem Zehnerlogarithmus, zum Beispiel:

\(lg(318) = 2,502...\) und das wird aufgerundet zur \(3\), also sind es \(3\) Stellen.
\(lg(2092) = 3,320...\) und das wird aufgerundet zur \(4\), also sind es \(4\) Stellen.
\(lg(71986) = 4,857...\) und das wird aufgerundet zur \(5\), also sind es \(5\) Stellen.

Für \(7^{2017}\) rechnen wir:

\(lg(7^{2017}) = 2017\cdot lg(7) = 2017\cdot 0,84509890... = 1704,56...\),

also sind es 1705 Stellen.