Letzte Woche war ich in Deutschland unterwegs. In Augsburg habe ich mich mit einer geschätzten Kollegin ausgetauscht und in Saarbrücken durfte ich einen emeritierten Universitätsgelehrten besuchen. In beiden Gesprächen kam der obige Ausspruch Kants vor. Für mich ist er ein ausgleichendes Gegengewicht zu den enormen Möglichkeiten der technischen Entwicklung wie Taschenrechner, GPS oder Suchmaschinen.

Heute möchte ich Ihnen eine kleine Beobachtung zu den Mersenne-Zahlen des 33. Beitrags erklären. Es sieht höchstens am Anfang etwas schwierig aus, wird sich aber bald auflösen.

Eine Mersenne-Primzahl hat die Form

\(2^{p}-1\)

und hierin steht \(p\) wiederum für eine Primzahl. Solche Ausdrücke sind für manche Primzahlen \(p\) selbst Primzahl, für manche aber nicht:

\(3\) ist Primzahl und \(2^{3} - 1 = 7\) ist eine Mersenne-Primzahl.

\(5\) ist Primzahl und \(2^5 - 1 = 31\) ist eine Mersenne-Primzahl.

\(11\) ist Primzahl, aber \(2^{11} - 1 = 2047 = 23\cdot 89\) ist keine Primzahl.

Niemand hat bislang bewiesen, dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt. Schauen wir uns die ersten Mersenne-Primzahlen an.

Was fällt Ihnen bei den Zahlen in der mittleren Spalte auf, wenn es sich um eine Primzahl handelt?

Ergibt sich ab \(p\geq 3\) eine Mersenne-Primzahl, dann ist deren letzte Ziffer \(1\) oder \(7\).

Ist das immer so oder eine gefährliche Schlussfolgerung wie im 12. Blogbeitrag? Haben wir also den Mut, unseren Verstand zu benutzen. Wir notieren die Zweierpotenzen

und sehen, dass sich die letzten Stellen wiederholen

\(2\), \(4\), \(8\), \(6\), \(2\), \(4\), \(8\), \(6\).

Für Mersenne-Primzahlen

\(2^{p}-1\)

muss \(p\) selbst eine Primzahl, also muss \(p\) (mit Ausnahme der \(2\)) ungerade sein. Wenn wir uns also auf die ungeraden Hochzahlen beschränken, dann erhalten wir abwechselnd als letzte Stelle der Zweierpotenzen

\(2\), \(8\), \(2\), \(8\)

und so weiter. Ziehen wir \(1\) davon ab, dann wiederholen sich \(1\) und \(7\).

Mersenne-Primzahlen enden also ab \(p\geq 3\) immer auf \(1\) oder \(7\).

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