Die Prozentrechnung gehört zur mathematischen Grundbildung, da man sie im Alltag und im Beruf gebrauchen kann. Das Wort Prozent leitet sich vom Lateinischen pro centum ab und bedeutet von Hundert. Geben in einer Umfrage von \(250\) Personen \(60\) an, mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Arbeit zu pendeln, dann sind das

\(\dfrac{Bruchteil}{Gesamtmenge}=\dfrac{60}{250}=0,24=24\%\).

Mit der Prozentrechnung können wir uns immer auf \(100\) als anschauliche Größe beziehen: Hätten wir \(100\) Personen befragt, würden \(24\) mit öffentlichen Verkehrsmitteln pendeln.

Die Faktormethode

Um mit Prozentwerten zu rechnen, wandelt man sie in Dezimalzahlen um: \(24\%=0,24\). Will man nun wissen, wie viel \(24\%\) von \(250\) sind, dann multipliziert man:

\[ 0,24\cdot 250 = 60\]
und weil \(0,24\) hierbei ein Faktor ist, spricht man von der Faktormethode. Wir wenden nun diese Methode an.

Musteraufgabe

Ein Sakko kostet \(200\).- € . Es wird um \(10\%\) reduziert. Da sich kein Käufer findet wird es anschließend, mit Bezug auf den reduzierten Preis, um \(20\%\) reduziert.

  1. Was kostet es nach der ersten Preisreduzierung?

  2. Was kostet es nach der zweiten Preisreduzierung?

  3. Welcher Endpreis ergibt sich, wenn es zuerst um \(20\%\) und danach um \(10\%\) reduziert wird?

  4. Um wie viel Prozent müsste das Sakko einmalig reduziert werden, um den Preis aus 2. zu erreichen?

Lösungsvorschlag

  1. Wenn der Preis um \(10\%\) reduziert wird, dann bleiben \(90\%\) des Preises übrig und das sind \(0,9\cdot 200\)€ \( = 180\)€ .

  2. Wenn der Preis um \(20\%\) reduziert wird, dann bleiben \(80\%\) des Preises übrig und das sind \(0,8\cdot 180\)€\( = 144€\).

  3. Wird umgekehrt reduziert, erhalten wir zuerst: \(0,8\cdot 200\)€\( = 160\)€ und dann \(0,9\cdot 160\)€\( = 144\)€. Es muss sich der gleiche Endpreis ergeben, denn bei der Multiplikation dürfen wir Faktoren vertauschen:
    \[0,9\cdot 0,8\cdot 200 = 0,8\cdot 0,9\cdot 200\]
  4. Wir könnten mit dem Ergebnis aus Teil 2. bzw. Teil 3. rechnen:
    \[\frac{144}{200}=0,72\]
    Zur \(1,00=100\%\) fehlen \(0,28\). Also müsste der Anfangspreis einmalig um \(28\%\) reduziert werden. Mit der Faktormethode hingegen brauchen wir keine Zwischenergebnisse:
    \[0,9\cdot 0,8\cdot 200 = 0,72\cdot 200.\]
    Mit etwas Übung können Sie die Frage nach der einmaligen Reduzierung im Kopf berechnen. Angenommen, die Reduzierungen sind \(10\%\) und \(30\%\). Dann bleiben also \(90\%\) bzw. \(70\%\) übrig. Die zugehörigen Faktoren sind also \(0,9\) und \(0,7\). Sie rechnen \(9\cdot 7 = 63\), es fehlen \(37\) zur \(100\) und das ist die gesuchte einmalige Reduzierung in Prozent.

Wenn die Prozentrechnung behandelt wird, kommt es vor, dass Lernende die Prozentzahlen addieren: \(20\%\) Reduzierung und \(10\%\) Reduzierung ergibt \(30\%\) Reduzierung. Das ist wie gesehen nicht richtig, da sich der Bezugswert ändert.

Hier hilft das prägnante Beispiel, dass zweimal um \(50\%\) reduziert wird. Dabei kommt natürlich nicht \(100\%\) Reduzierung, also \(0\)€ Endpreis heraus.

 Wird zweimalig um \(50\%\) reduziert, dann bleibt die Hälfte der Hälfte, also ein Viertel übrig: \(0,5\cdot 0,5=0,25\)

Die Prozentrechnung wird in einem späteren Blogbeitrag wieder aufgegriffen werden.

Software: Die Abbildung wurde mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.