Um welchen Faktor vergrößert sich die Fläche eines Kreises, wenn man den Radius verdoppelt?

Eine Zeichnung wird hier nicht viel bringen, denn mit mehreren Exemplaren des Ausgangskreises können wir den größeren nicht so einfach ausschöpfen:

Benutzen wir also die Algebra, das Rechnen mit Buchstaben. Wir müssen hier wissen, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises als Produkt aus der Kreiszahl Pi und dem quadrierten Radius ergibt. Der Radius des kleinen Kreises sei \(r\), der des großen Kreises ist dann \(2r\). Wir erhalten für die zugehörigen Flächen:
\begin{align*}
A_{1} &= \pi\cdot r\cdot r = \pi r^{2}\\
A_{2} &= \pi\cdot 2r\cdot 2r = 4\pi r^{2}
\end{align*}Moment mal, das ist ja bis auf das \(\pi\) die gleiche Rechnung wie beim Quadrat. Das heißt, der Flächeninhalt vervierfacht sich auch hier. Hier sehen Sie den entscheidenden Vorteil der Algebra, man kann erkennt den quadratischen Zusammenhang:

Beim Quadrat wird die Seitenlänge \(a\) quadriert, beim Kreis wird der Radius \(r\) quadriert. Die Kreiszahl \(\pi\) ist eine Konstante und fügt sich in die funktionale Abhängigkeit ein. So denken Mathematiker. Und sie kommen von einer Frage zur nächsten oder zu früheren Fragen zurück. Wir kennen jetzt das Ergebnis, also können wir uns der obigen Figur von Neuem nähern:

Der kleine Kreis passt genau viermal in den großen Kreis. Die weißen Schnittmengen der kleinen Kreise sind Dopplungen. Diese müssen sich also auf den Rest des großen Kreises exakt verteilen lassen. Also ist die weiße Gesamtfläche in der obigen Abbildung so groß wie die schwarze Gesamtfläche, mit anderen Worten:

Eine weiße Fläche ist genau so groß wie eine schwarze Fläche.

Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.
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