Wenn man Menschen nach Ihren Erinnerungen zum Geometrie-Unterricht fragt, ist dieser Satz oft zu hören, meistens in Form der notorischen Pythagoras-Gleichung:

\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).

Ohne die Bedeutung der Buchstaben zu kennen, ist diese Gleichung sinnleer. Die Aussage des Satzes wird anhand einer Zeichnung klar.

Ausgangssituation ist ein rechtwinkliges Dreieck \(ABC\). Das ist zugleich die logische Voraussetzung des Satzes. Es ist üblich, dass der rechte Winkel bei \(C\) liegt. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist immer die längste Seite. Man sagt auch Hypotenuse dazu. Die anderen Seiten heißen Katheten. Will man diese Fachbegriffe vermeiden oder später benutzen, dann lässt sich der Satz so formulieren:

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche der beiden Quadrate über den kürzeren Seiten

so groß wie die Fläche des Quadrates über der größten Seite.

Der Satz des Pythagoras ist also ein Flächensatz, aber er wird zur Berechnung von Längen benutzt. Dazu muss die Pythagoras-Gleichung umgeformt werden.

Beispiel 1: Berechnung einer fehlenden Seitenlänge

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten \(5\) \(cm\) und \(12\) \(cm\) lang. Wie lang ist die Hypotenuse?

Lösung

Wir setzen die gegebenen Seitenlängen in die Pythagoras-Gleichung ein. Es ist nicht klar, welche der beiden Katheten \(5\) \(cm\) bzw. \(b=12\) \(cm\) lang ist, aber das läuft eh auf das gleiche Dreieck hinaus.
\begin{align*}
c^{2} &= 5^{2}+ {12}^2\\
c^{2} &= 169
\end{align*}Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten \(c=13\) cm. Hier sind alle drei Seitenlängen ganzzahlig, in einem solchen Fall nennen wir die Zahlenkombination \(5-12-13\) pythagoreisches Zahlentripel.

Beispiel 2: Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten

Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten \(A(2|1)\) und \(B(7|3)\)?

Lösung

Hier sind die Koordinaten zweier Punkte gegeben. Das sind die Zahlen \(2\) und \(1\) für den Punkt \(A\) und \(7\) und \(3\) für den Punkt \(B\). Zuerst steht immer die \(x\)-Koordinate, danach die \(y\)-Koordinate. Die \(x\)-Achse ist die horizontale Achse, die \(y\)-Achse steht senkrecht dazu. Wir ergänzen die Zeichnung durch zwei Strecken, so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht.

Der gesuchte Abstand ist also die Länge der Hypotenuse \(c\) des Dreiecks \(ABC\). Die beiden Katheten sind \(2\) \(cm\) bzw. \(5\) \(cm\) lang und wir können wie im 1. Beispiel rechnen:
\begin{align*}  
c^{2} &= 2^2+5^2\\
c^2 &= 29
\end{align*}Hier geht die Wurzel nicht ganzzahlig auf, wir begnügen uns daher, das Ergebnis auf eine Nachkommastelle zu runden:

\(c=\sqrt{29}\) \(cm ≈ 5,4\) \(cm\).

Es gilt auch die logische Umkehrung des Satzes

Wenn das Dreieck \(ABC\) rechtwinklig ist, dann gilt \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\). Das ist der Satz von Pythagoras. Es gilt bemerkenswerterweise auch die logische Umkehrung des Satzes:

Wenn in (irgendeinem) Dreieck mit den Seitenlängen \(a\), \(b\), \(c\) die Pythagoras-Gleichung gilt,
dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.
 

Damit können wir rechnerisch prüfen, ob ein Dreieck mit bekannten Seitenlängen rechtwinklig ist. Zum Beispiel ist das Dreieck mit den Seitenlängen \(9\) \(cm\), \(40\) \(cm\) und \(41\) \(cm\) rechtwinklig:
\begin{align*}
9^{2} + 40^{2} &= 1681\\
41^{2} &= 1681\end{align*}Übrigens gilt der Satz von Pythagoras sinngemäß, wenn wir die Quadrate über den Dreiecksseiten durch Halbkreise ersetzen. Das lernen wir im Beitrag über die Möndchen des Hippokrates.

Software: Die Abbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.