In diesem Beitrag stelle ich Ihnen einen Satz über die Primzahlen vor, der nicht sehr bekannt ist, obwohl man ihn mit einfachen Mitteln beweisen kann. Erinnern Sie sich an die Definition einer Primzahl aus früheren Beiträgen?

Eine natürliche Zahl größer als \(1\), die nur durch \(1\) und durch sich selbst teilbar ist, heißt Primzahl. Die ersten Primzahlen lauten: \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\) und so weiter.

Vorab verrate ich Ihnen, dass die Zahl \(6\) die Hauptrolle spielen wird. Schauen wir uns also die Primzahlen an und bringen die \(6\) ins Spiel:

 Wir gewinnen den Eindruck, dass sich alle Primzahlen ab \(5\) in der Form

\(p=6\cdot n-1\) oder \(p=6\cdot n+1\)

mit einer passenden natürlichen Zahl \(n\) darstellen lassen. Überprüfen wir diese Vermutung mit einer größeren Primzahl. \(2017\) ist eine Primzahl. Division durch \(6\) ergibt:


Wir schreiben diese Division als Multiplikation:

\(2017 = 6\cdot 336 + 1\).

Die Vermutung stimmt also auch für \(2017\). Wir können wir unsere Vermutung beweisen, immerhin gibt es ja unendlich viele Primzahlen?

Dazu benutzen wir eine Fallunterscheidung. Wenn wir eine Zahl durch \(6\) dividieren, gibt es genau \(6\) mögliche Fälle: Die Division geht auf, dann ist der Rest \(r=0\) oder es bleibt der Rest \(1\) übrig oder der Rest ist \(2\) und so weiter bis zu dem Fall, dass \(r=5\) ist.

Im Fall \(r=0\) wäre die Zahl \(6\cdot n\) durch \(6\) teilbar, also keine Primzahl.
Im Fall \(r=2\) wäre die Zahl \(6\cdot n+2\) gerade, also wegen \(p>3\) keine Primzahl.
Im Fall \(r=3\) wäre die Zahl \(6\cdot n+3\) durch \(3\) teilbar, also wegen \(p>3\) keine Primzahl.
Im Fall \(r=4\) wäre die Zahl \(6\cdot n+4\) gerade, also wiederum keine Primzahl größer als \(3\).

Somit bleiben genau die beiden Fälle übrig, dass \(r=1\) ist oder \(r=5\) ist. Der mögliche Rest \(r=1\) deckt sich mit einem Teil unserer Vermutung, aber wie bekommen wir den Fall \(r=5\) mit der \(-1\) izusammen? Beide Zahlen entsprechen sich als Rest, \(-1\) läuft auf den Rest \(5\) hinaus, lediglich der Faktor vor dem \(n\) ändert sich:
\begin{align*}
6\cdot n+5 &= 6\cdot n+6-1\\
                 &= 6\cdot (n+1)-1.
\end{align*}Damit ist die Vermutung bewiesen und wir können die Aussage als Satz festhalten:

Für jede Primzahl \(p>3\) existiert eine Darstellung

in der Form \(p=6n-1\) oder \(p=6\cdot n+1\)

mit einer natürlichen Zahl \(n\).

Die Umkehrung der Aussage gilt übrigens nicht, das heißt, nicht jede Zahl der Form \(6\cdot n-1\) oder \(6\cdot n+1\) muss zwangsläufig eine Primzahl sein, zum Beispiel sind

\(20\cdot 6-1 = 119 = 7\cdot 17\) und \(20\cdot 6+1 = 121 = 11\cdot 11\)

keine Primzahlen.

Software: Die Abbildung der schriftlichen Division wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.