Es gibt krummlinig begrenzte Formen wie Schnittgebilde von Kreisbogen, die zu einer geradlinig begrenzten Form flächengleich sind. Das bekannteste Beispiel dieser Aussage sind die Möndchen des Hippokrates. Die beiden gelben Flächen sind zusammen exakt so groß wie das blaue rechtwinklige Dreieck \(ABC\).

Diese Aussage war vermutlich Anlass für die Vermutung, man könne nicht nur Kreisbogen in ein flächengleiches Dreieck umwandeln, sondern auch einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat. Ca. 2300 Jahre später hat sich diese Quadratur des Kreises (mit Zirkel und Lineal) als endgültig unmöglich herausgestellt, gleichwohl gibt es Näherungskonstruktionen.

Möchten Sie den Beweis der obigen Aussage nachvollziehen? Sie benötigen nur den Satz des Pythagoras und etwas Ruhe für die einzelnen Argumentationsschritte. Orientieren Sie sich bitte als Erstes in der Beweisfigur

\(M_{1}\) und \(S_{1}\) ergeben zusammen den Halbkreis über der Strecke \(AC\)
\(M_{2}\) und \(S_{2}\) ergeben zusammen den Halbkreis über der Strecke \(BC\).
\(HK\) ist der Halbkreis über der Strecke \(AB\).

Wir benutzen nun den Satz des Pythagoras in einer speziellen Variante - für Halbkreise über den Dreiecksseiten. Am Ende des Artikels gebe ich Ihnen eine kurze Begründung dafür. Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) gilt:

\(M_{1} + S_{1} + M_{2} + S_{2} = HK\).

Der Halbkreis \(HK\) ist so groß wie seine andere Hälfte:

\(HK=S_{1} + D + S_{2}\).

Wir verknüpfen beide Gleichungen zu einer:

\(M_{1} + S_{1} + M_{2} + S_{2} = S_{1} + D + S_{2}\)

und subtrahieren auf beiden Seiten \(S_{1}\) und \(S_{2}\). Es bleibt übrig:

\(M_{1}  + M_{2}  = D\)

und damit ist der Satz bewiesen.

Der Beweis kommt ohne höhere Funktionen aus. Wir benötigen lediglich den Satz des Pythagoras. Für mich sind solche Beweise zeitlos schön. Die Zeichnung und die dazugehörigen Gleichungen werden in allen Kulturen verstanden, denn Mathematik ist eine Universalsprache. Es gibt Variationen dieses Satzes, zum Beispiel diese hier:

Hier sind die gelben Flächen zusammen so groß wie das blaue Quadrat.

Anhang

Der Satz von Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck auch für Halbkreise über den Dreiecksseiten. Zur Begründung gehen wir aus von der üblichen Pythagorasgleichung:

\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\)

und multiplizieren beide Seiten mit \(\frac{1}{2}\cdot\pi\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\). Wir erhalten:

\(\dfrac{1}{2}\pi\cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2}+ \dfrac{1}{2} \pi\cdot \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{2} \pi\cdot\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}\)

Das erinnert uns an die Formel für den Flächeninhalt des Kreises:

\(F = \pi\cdot r^2\).

In der vorletzten Gleichung steht jeweils \(1/2\) vor dem \(\pi\) und die Radien sind \(a/2\), \(b/2\) und \(c/2\), also handelt es sich hier um Halbkreise mit den halben Dreiecksseiten als Radien.

Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.