Gegeben seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene.

Bestimmen Sie alle Geraden, die von diesen beiden Punkten gleich weit entfernt sind.

 

 

 


Problem ist geschlossen. Weiter unten folgt die Lösung.

 

 

 

 

 

Lösung

Es gibt mehrere Geraden mit der verlangten Eigenschaft, genauer gesagt unendlich viele. Eine Gerade, die das Problem löst, ist die Mittelsenkrechte. In Austria sagt man auch Streckensymmetrale dazu:

Die weiße Mittelsenkrechte geht durch den Mittelpunkt \(M\) der Stecke \(AB\) und steht senkrecht auf der Strecke \(AB\). Wegen der Symmetrie hat sie von \(A\) und \(B\) den gleichen Abstand. Der Abstand ist immer der kürzeste Abstand, also hier die Länge der Strecke \(AM\) bzw. \(MB\).

Es reicht aber bereits, wenn die gesuchte Gerade durch den Mittelpunkt \(M\) verläuft, sie muss nicht senkrecht auf \(AB\) stehen.

Jede Gerade, die durch \(M\) verläuft, löst das Problem: Der Abstand der Geraden \(g\) zu \(A\) ist die Länge der Strecke \(AL\). Der Abstand der Geraden \(g\) zu \(B\) ist die Länge der Strecke \(BL'\). Die Strecken \(AL\) und \(L'B\) sind gleich lang.

Tanzen Ihre Synapsen jetzt Tango? Dann befinden Sie sich inmitten eines Lernpotenzials.

Das sind nicht alle Lösungen, es gibt weitere: Jede Parallele zur Strecke \(AB\) löst ebenfalls das Problem.

Der Abstand von \(g\) zu \(A\) ist die Länge der Lotstrecke \(LA\). Der Abstand von \(g\) zu \(B\) ist die Länge der Lotstrecke \(L'B\). Beide Abstände sind gleich groß.

Vollziehen Sie diese Lösungen falls nötig auf Papier nach.

Quelle: Thema mit Variationen, Aufgabenvariation im Mathematikunterricht, Hans Schupp
Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.