Letztens habe ich Pralinen gesehen, die als „unendlich zart schmelzend“ beworben wurden. Diese Behauptung hat mich zwar nicht davon überzeugt, die Pralinen zu kaufen, mich aber daran erinnert, wieder einen Beitrag über die Unendlichkeit zu schreiben.

Dieses Thema ist ein Fass ohne Boden, das ich heute mit der Quadratwurzel aus \(2\) angehen will. Wir haben im Artikel über gefährliche Schlussfolgerungen gesehen, dass uns der Taschenrechner nur näherungsweise Ergebnisse liefert. Die Quadratwurzel aus \(2\) besitzt unendlich viele Stellen nach dem Komma. Das wird in diesem Beitrag gezeigt.

Die Quadratwurzel taucht in natürlicher Weise im Quadrat als Diagonale auf. Das sehen wir mit dem Satz von Pythagoras

\(\begin{align*}
d^{2} &= 1^{2} + 1^{2}\\
d^{2} &= 2\\
d &= \sqrt{2}
\end {align*}\)

Hier haben wir Gelegenheit, zu philosophieren: Wenn Sie daran glauben, dass Sie eine Strecke der Länge \(1\) \(cm\) und einen rechten Winkel exakt konstruieren können und wenn Sie weiter davon überzeugt sind, mit einem Zirkel einen Abstand übertragen zu können, dann können Sie die Diagonale \(d\) mit der Länge \(\sqrt{2}\) auf den Zahlenstrahl übertragen.

 

Theoretisch könnten wir hineinzoomen, immer genauer und würden dadurch immer weitere Dezimalstellen entdecken. Das widerspricht allerdings irgendwann der Quantenmechanik. Sie sehen hier, dass Geometrie auch theoretisch ist, aber im besten Sinne, denn es ist eine Schule des Denkens:

Was sind die Folgerungen meiner Annahmen, was kann ich woraus schließen?

Die Geometrie bietet perfekte Bedingungen, wie ein gepflegter Park, in dem wir flanieren und uns geistig erfrischen. Die Gedankenwelt der Geometrie ist ein Refugium, gleichwohl gibt es dort auch dunkle Ecken, wo man sich mit den Grenzen der Erkenntnis auseinander setzen muss.

Ein Beweis dafür, dass Wurzel aus \(2\) unendlich viele Nachkommastellen hat

Die folgende Argumentation ist etwas umfangreich, dementsprechend nicht sehr elegant, aber sie lässt sich Schritt für Schritt nachvollziehen. Wir nehmen an, \(\sqrt{2}\) hätte nur endlich viele Stellen nach dem Komma und führen diese Annahme zum Widerspruch. Wir rechnen als Vorarbeit aus:

\(1,4^2 = 1,96\) und \(1,5^{2}=2,25\),

also gilt die Anordnung:

\(1,4^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5^2\)   

Hierbei ist \(<\) das Kleiner-Zeichen. Das bedeutet für die Quadratwurzel aus \(2\)

\(1,4 < \sqrt{2} < 1,5\).

Wurzel aus \(2\) liegt also zwischen \(1,4\) und \(1,5\). Das liefert natürlich der Taschenrechner, aber wir wollen uns bei einem sauberen Beweis nicht auf die Ergebnisse einer Maschine stützen, deren Programmierung mathematische Grundlagen benötigt, die zu beweisen sind.

Hätte \(\sqrt{2}\) nur endlich viele Stellen, dann kommen genau die nachstehenden Fälle in Frage, die wir der Reihe nach ausschließen:

1. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(1\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(1\), denn \(1^2 = 1\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

2. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(2\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(4\), denn \(2^2 = 4\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

3. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(3\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(9\), denn \(3^2 = 9\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

4. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(4\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(6\), denn \(4^2 = 16\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

5. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(5\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(5\), denn \(5^2 = 25\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

6. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(6\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(6\), denn \(6^2 = 36\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

7. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(7\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(9\), denn \(7^2 = 49\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

8. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(8\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(4\), denn \(8^2 = 64\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

9. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(9\).
Dann ergibt sich nach quadrieren als letzte Kommastelle eine \(1\), denn \(9^2 = 81\). Das führt also nicht auf \(2,0\).

10. Fall: Die letzte Stelle von \(\sqrt{2}\) ist eine \(0\).

Diese \(0\) könnten wir natürlich streichen. Dann müssten wir wegen der Abschätzung \(1,4 < \sqrt{2} < 1,5\) irgendwann an eine Stelle nach dem Komma gelangen, die nicht \(0\) ist, aber diese \(9\) Fälle haben wir bereits ausgeschlossen.

Somit führt die Annahme, \(\sqrt{2}\) hätte nur endlich viele Stellen immer zu einem Widerspruch. Es bleibt nur die Möglichkeit, dass \(\sqrt{2}\) unendlich viele Stellen nach dem Komma hat.

Bonus

Wir haben nur gezeigt, dass \(\sqrt{2}\) unendlich viele Stellen nach dem Komma besitzt. Wir wissen damit noch nicht, ob sich diese Stellen irgendwann wiederholen. Das ist nicht der Fall, das ist bereits seit Euklid gesichert, aber ich möchte Ihnen einen alternativen Beweis näherbringen.

Wir jonglieren mit \(\sqrt{2}\). Es gilt

\((\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^{2} = 2-1=1\)

Hierbei multiplizieren die ersten beiden Klammern aus oder benutzen die dritte binomische Formel. Wir erhalten also die Gleichung:

\((\sqrt{2}-1)\cdot (\sqrt{2} + 1) = 1\).

Diese stellen wir um:\begin{align*}
\sqrt{2} - 1 &= \frac{1}{\sqrt{2} + 1}\\
&= \frac{1}{1+\sqrt{2}}
\end{align*}Ein Professor von mir pflegte zu sagen: „Wir haben das nur komplizierter geschrieben“. Der Sinn dahinter wird bald klar werden. Wir notieren diese Gleichung zweimal untereinander:

\(\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{1+\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{1+\sqrt{2}}\)

Wir ersetzen die \(\sqrt{2}\) auf der rechten Seite der ersten Gleichung durch die gesamte rechte Seite der zweiten Gleichung und fassen im Nenner zusammen:
\begin{align*}
\sqrt{2} &= 1 + \frac{1}{1 + 1 + \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}}\\
\sqrt{2} &= 1 + \frac{1}{2 + \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}}
\end{align*}Dieses Ersetzen können wir wieder und wieder tun. Diese Kettenbrüche werden also niemals enden, sie werden sich nicht zu einem gewöhnlichen Bruch vereinfachen lassen, deshalb können sich die Stellen auch nicht wiederholen. Ähnlich wie in der Vorstellung einer Intervallschachtelung (Lupe, Mikroskop) können wir auch bei dieser Rechnung „unendlich absteigen“.

Ressource: www.wolframalpha.com
Software: Die Konstruktionsabbildungen wurden mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.
Nachweis Einleitungsbild: www.pixabay.com