Wir haben in einer Zahlenspielerei des zweiten Blogbeitrags gesehen, dass sechsstellige Schnapszahlen immer durch \(1001\) teilbar sind. Heute schauen wir uns die \(1001\) näher an:

Gibt es eine Möglichkeit, zu sehen, dass \(1001\) durch \(11\) teilbar ist?

Wir können geschwind schriftlich dividieren, aber bei großen Zahlen wird das mühsam. Lassen Sie uns tiefer in die Zahlenstruktur eintauchen - wir werden die Zahl quasi röntgen. Sie benötigen etwas Buchstabenrechnung dafür, fassen Sie die folgenden Gleichungen einfach als Schlüssel für das gesuchte Problem auf. Ich stelle Ihnen dieses Schlüsselbund zur Verfügung, aber es braucht uns aktuell nicht zu kümmern, wie diese Schlüssel hergestellt wurden, mehr dazu im Bonus.

Mathematiker besitzen jede Menge solcher Schlüssel, manche davon können sie selbst herstellen, andere sind ihnen einfach bekannt. Gute Problemlöser besitzen ein großes Schlüsselbund, eher einen Schlüsselkasten, der gut sortiert ist.

Bitte akzeptieren Sie die folgende Aussage, das ist unser Schlüssel. Für alle möglichen Zahlen \(a\), \(b\) gilt die Gleichung

\(a^{3} + b ^{3} = (a+b)\cdot (a^{2} - a\cdot b + b^{2})\)

Auf der linken Seite sehen Sie die Summe zweier dritter Potenzen. Rechts steht ein Produkt mit zwei Faktoren. Damit können wir die Summe auf der linken Seite in das Produkt auf der rechten Seite umwandeln, das heißt, wir finden Teiler.

Und nun zur \(1001\). Offenkundig gilt:
\begin{align*}
1001 &= 1000 + 1\\
 &= 10^{3} + 1^{3}
\end{align*}Ah, jetzt können wir die obige Formel mit \(a=10\) und \(b=1\) verwenden.
\begin{align*}
1001 &=  10^{3} + 1^{3}\\
&= (10+1)\cdot (10^{2} - 10\cdot 1 + 1^{2})\\
&= 11\cdot 91
\end{align*}

Somit ist \(1001\) durch \(11\) teilbar.

Mit der Zerlegung

\(91 = 7\cdot 13\)

folgt, dass \(1001\) auch durch \(7\) und \(13\) teilbar ist.

Es gibt weitere Formeln, zum Beispiel die dritte binomische Formel

\(a^{2} - b ^{2} = (a-b)\cdot (a+b)\),

die man zum Faktorisieren immer wieder gebrauchen kann.

Beispiel: \(9991\)

Hier rechnen wir mit \(a=100\) und \(b=3\) und stellen \(9991\) zuerst als Differenz zweier Quadratzahlen und dann als Produkt dar:

\begin{align*}
9991 &= 10000 - 9\\
&= 100^{2} - 3^{2}\\
&= (100 - 3)\cdot (100 + 3)\\
&=97 \cdot 103
\end{align*}Weiter können wir nicht zerlegen, denn \(97\) und \(103\) sind Primzahlen.

Bonus

Letzte Woche bin ich in einem Forum auf das Problem gestoßen, dass man \(1.000.027\) in Primfaktoren zerlegen soll. Meine erste Idee dazu war:

\(1.000.027 = 999.999 + 28\)

und \(999.999\) ist als sechsstellige Schnapszahl durch \(7\) teilbar, \(28\) ebenfalls, also ist auch \(1.000.027\) durch \(7\) teilbar. Außerdem gilt mit Blick auf die erste Formel von oben:

\begin{align*}
1.000.027&=  100^{3} + 3^{3}\\
&= (100 + 3)\cdot (100^{2} - 100\cdot 3 + 3^{2})\\
&= 103\cdot 9709
\end{align*}

\(103\) ist Primzahl, die gesamte Zahl ist durch \(7\) teilbar, also muss \(9709\) durch \(7\) teilbar sein:

\(9709 = 7\cdot 1387\).

Als Zwischenergebnis notieren wir der Größe nach aufsteigend sortiert:

\(1.000.027 = 7\cdot 103\cdot 1387\).

Hier bin ich dann nicht direkt weitergekommen, denn \(1387\) ist etwas unhandlich. Probiert man Primteiler größer als \(7\) der Reihe nach durch, so gelangt man irgendwann zur \(19\), also gilt:

\(1.000.027 = 7\cdot 19\cdot 73\cdot 103\).

Alle Faktoren sind Primzahlen, das Problem ist gelöst.

Probieren geht über studieren, aber das könnte sich bei anderen Zahlen lange hinziehen, daher suchen Mathematiker grundsätzlich nach Lösungsverfahren, die ohne Schuss ins Blaue auskommen. Wir können hier die erste Formel für die Summe von dritten Potenzen benutzen und ausdehnen. Als Ergebnis erhalten wir:
\begin{align*}
x^{6} + 27 = (x^{2})^{3} + 3^3 = (x^2 + 3)\cdot (x^2 - 3x + 3)\cdot (x^{2} + 3x + 3)
\end{align*}

Das wenden wir für \(x=10\) an:

\begin{align*}
1.000.027 &= 10^{6} + 27\\
&= (10^2 + 3)\cdot (10^2 - 3\cdot 10 + 3)\cdot (10^{2} + 3\cdot 10 + 3)\\
&= 103\cdot 73\cdot 133\\
&= 7\cdot 19\cdot 73\cdot 103
\end{align*}
Quelle: http://math.stackexchange.com/

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