Wofür müssen wir sorgen, damit eine Dominoreihe komplett umfällt?

 Die Steine dürfen nicht zu weit auseinander stehen und der erste Stein muss vorsichtig umgestoßen werden.

In der Mathematik gibt es ein Beweisverfahren, das ähnlich funktioniert. Es ist das Prinzip der vollständigen Induktion. Hier geht es nicht um Dominosteine, sondern um die Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und so weiter: Wenn ich mit der \(1\) anfange und dann von jeder Zahl zur nächsten zähle, dann komme ich beliebig weit.

Dieses Prinzip können wir benutzen, um Aussagen zu beweisen. Erinnern Sie sich an das kleine Luxusproblem des dritten Beitrages, wie oft die Gläser zum Jahreswechsel klingen? Als allgemeines Ergebnis haben wir für \(n\) Personen erhalten, dass die Gläser

\begin{align}
\dfrac{(n-1)\cdot n}{2}
\end{align}mal klingen. Für \(n=10\) Personen sind das also
\begin{align*}
\frac{(10-1)\cdot 10}{2} = 45
\end{align*}mal. Die Formel \((1)\) beweisen wir nun mit diesem Domino-Prinzip.

1. Der erste Dominostein fällt um.

Ist aktuell nur eine Person auf der Party, dann klingen die Gläser natürlich \(0\)mal, ist wohl der Gastgeber, der auf seinen ersten Gast wartet. Hier liefert die Formel:

\(\dfrac{(n-1)\cdot n}{2} = \dfrac{(1-1)\cdot 1}{2} = 0\),

sie stimmt also, der erste Dominostein ist umgefallen.

2. Wenn ein Dominostein umfällt, dann fällt auch der nächste um.

Angenommen, die Formel stimmt für irgendeine natürliche Zahl \(n\), das heißt für \(n\) Personen. Wir zeigen, dass sie dann auch für \(n+1\) gilt. Lassen wir also den nächsten Gast auf der Party erscheinen

und alle sollen wieder zuprosten. Das organisieren wir in Gedanken so: Die ersten \(n\) Personen sollen sich einfach nochmal zuprosten und dann jeder davon mit dem neuesten Gast. Insgesamt klingen dann die Gläser:

\(\dfrac{(n-1)\cdot n}{2} + n\)

mal. Diesen Ausdruck formen wir um, indem wir zuerst \(n\) und dann \(1/2\) ausklammern:
\begin{align*}
\dfrac{(n-1)\cdot n}{2} + n &= n\cdot \left[\frac{1}{2}(n-1) + 1\right]\\
\\
&= \dfrac{1}{2}\cdot n\cdot\left[(n-1) + 2\right]\\
\\
&= \dfrac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)
\end{align*}
Wir gelangen also von

\(\dfrac{(n-1)\cdot n}{2}\)

zu

\(\dfrac{n\cdot (n+1)}{2}\),

das heißt, von der Zahl \(n\) auf den Nachfolger \(n+1\), also fällt der nächste Dominostein um und unsere Formel \((1)\) ist bewiesen.

Bonus

Der Nachteil des Verfahrens ist, dass man eine Formel schon vermuten muss. Man hilft sich damit, dass man die ersten Folgenglieder händisch berechnet, so zu einer Vermutung gelangt, die man dann mit dem Prinzip der vollständigen Induktion löst.

Oft ist geschicktes Umformen eine elegante Alternative, zum Beispiel bei dieser Aussage:

Die Zahl \(n^{3}-n\) ist für alle natürlichen Zahlen \(n\) durch \(6\) teilbar.

Das können wir so begründen
\begin{align*}
n^{3} - n &= n\cdot (n^{2}-1)\\
&= n\cdot (n-1)\cdot(n+1)\\
&= (n-1)\cdot n\cdot (n+1)
\end{align*}Der Term ist also das Produkt von drei benachbarten Zahlen und wir haben im 27. Artikel gesehen, dass ein solches Produkt durch \(2\) und durch \(3\), also auch durch \(6\) teilbar ist.

Software
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Die Abbildung des Zahlenstrahls wurde mit GeoGebra erstellt, www.geogebra.org.
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